1/(x+1)<㏑(x+1)-㏑x<1/x 拉格朗日中值定理证明不等式
发布网友
发布时间:2024-10-24 11:52
我来回答
共1个回答
热心网友
时间:2024-11-05 20:30
构造函数f(x)=lnx.
设x<ξ<x+1,
则1/(x+1)<1/ξ<1/x.
依拉格朗日中值定理得
f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]
∴ln(x+1)-lnx=(1/ξ)·1
而1/(x+1)<1/ξ<1/x,
∴1/(x+1)<ln(x+1)-lnx<1/x.
即原不等式得证。