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1/(x+1)<㏑(x+1)-㏑x<1/x 拉格朗日中值定理证明不等式

发布网友 发布时间:2024-10-24 11:52

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热心网友 时间:2024-11-05 20:30

构造函数f(x)=lnx.
设x<ξ<x+1,
则1/(x+1)<1/ξ<1/x.
依拉格朗日中值定理得
f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]
∴ln(x+1)-lnx=(1/ξ)·1
而1/(x+1)<1/ξ<1/x,
∴1/(x+1)<ln(x+1)-lnx<1/x.
即原不等式得证。
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