已知函数f(x)=lnx-a(x2-x)(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1...

发布网友发布时间：2024-10-24 11:38

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热心网友时间：2024-11-09 23:51

解答：（本小题满分14分）
解：（I）当a=1时 f（x）=lnx-x2+xf′(x)＝1x?2x+1…．（3分）
∴f（1）=0，f′（1）=0即：所求切线方程为：y=0…．（6分）
（II）∵f′(x)＝1x?2ax+a＝?2ax2+ax+1x，x＞0
∴当a=0时，f′（x）＞0，
f（x）在[1，2]上递增
∴f（x）max=f（2）=ln2…．（7分）
当a≠0时可令g（x）=-2ax2+ax+1，x∈[1，2]．
∵g（x）的对称轴x＝14且过点（0，1）
∴当a＜0时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递增
∴f（x）max=f（2）=ln2-2a…．（9分）
当a＞0时，
若g（1）≤0，即：a≥1时，f′（x）＜0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递减，
∴f（x）max=f（1）=0…．（10分）
若g（1）＞0，g（2）＜0，即：16＜a＜1时，f′（x）在[1，a+a2+8a4a)上大于零，
在(a+a2+8a4a，2]上小于零f（x）在[1，a+a2+8a4a)上递增，
在(a+a2+8a4a，2]上递减，
∴f(x)max＝f(a+a2+8a4a)＝lna+a2+8a4a+a2+8a+a?48…．（12分）
若g（1）＞0，g（2）≥0，即：0＜a≤16时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]上递增，
∴f（x）max=f（2）=ln2-2a…．（13分）
综上：f(x)max＝ln2?2a，a≤16lna+a2+8a4a+a2+8a+a?48，16＜a＜10，a≥1…．（14分）

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