用数学归纳法证明 n(n^2-1)能被3整除

发布网友发布时间：2024-10-24 13:18

共3个回答

热心网友时间：2024-11-04 14:08

第一步,n=1时，n(n^2-1)=0，能被3整除。
第二步，假设n=k（k属于正整数）时，k(k^2-1)能被3整除，
则，n=k+1时，
n(n^2-1)=(k+1)((k+1)^2-1)
=(k+1)(k^2+2k+1-1)
=k(k^2+2k+1-1)+(k^2+2k+1-1)
=k(k^2-1)+3(k^2+k) ,能被3整除
所以：对任意自然数n,
n(n^2-1)能被3整除。

热心网友时间：2024-11-04 14:08

证明：n=1时明显成立
假设n=k时也成立
n=k+1时，有
(k+1)((k+1)^2-1)=(k+1)(k^2+2k)
=k(k^2-1)+3k^4+3k
由假设，k(k^2-1)能整除3，
同时，3k^4+3k也能整除3，
(k+1)((k+1)^2-1)能整除3，即n=k+1时也成立
由归纳法可知，该命题成立

热心网友时间：2024-11-04 14:09

若3整除n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)
n(n+2)(n+1）=n(n-1)(n+1)+3n(n+1）
故3能整除n(n+2)(n+1）

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