背包问题总结( 1 ) 01 背包,完全背包,多重背包,分组背包

发布网友 发布时间：2024-10-24 12:30

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热心网友 时间：2天前

本文将背包问题进行系统总结，重点关注01背包、完全背包、多重背包与分组背包问题。

背包问题的核心本质在于决策选择，以达到最大价值或特定性质。

动态规划基础：

动态规划的解法流程需先定义状态表示、存储的目标属性以及状态计算（状态转移方程），从而将问题分解成更小的子问题解决。

状态表示：

(1) 01背包问题中，状态表示为 (i, j)，表示在1~i范围内选择物品，体积不超过j的所有状态集合。

状态存储的目标属性，如最大价值。

状态计算（状态转移方程）：
(1) 当dp(i, j)不包含第i个物品时，转移方程为 dp(i, j) = dp(i-1, j)。
(2) 当dp(i, j)包含第i个物品时，转移方程为 dp(i, j) = dp(i-1, j-v[i]) + w[i]。

动态规划目标一般涉及最小化、最大化或计数。

完全背包问题分析：

(1) 问题描述：有N种物品与容量为V的背包，每种物品数量无限。求解在不超重的前提下，总价值最大。

(2) 状态表示：与01背包一致，为[i][j]，表示在1~i范围内选择物品，体积为j的所有状态集合。

(3) 解法1：暴力解法，时间复杂度较高。
解法2：状态压缩，一维动态规划，优化目标函数简化状态转移方程。

多重背包问题分析：

(1) 问题描述：N种物品与容量为V的背包，每种物品最多s件。求解总价值最大。

(2) 解法1：暴力解法，时间复杂度高。
解法2：状态压缩、二进制优化，将多重背包转化为01背包问题。

分组背包问题分析：

(1) 问题描述：N组物品与容量为V的背包，每组最多选一件。求解总价值最大。

(2) 解法：与01背包问题相似，状态转移方程基于分组的决策。

总结：本文系统梳理了背包问题类型，强调了动态规划在解决此类问题时的关键步骤，包括状态表示、目标函数与状态转移方程。通过不同解法的对比分析，旨在为读者提供深入理解与解决实际问题的策略。