韩继业的韩继业教授研究项目

发布网友 发布时间：2022-04-19 15:55

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热心网友 时间：2023-07-19 23:59

韩继业教授主要研究非线性优化及相关领域。二十世纪的后二十年是国际上非线性优化的蓬勃发展时期，改革开放的方针给科研工作带来了难得的安定环境。根据国际上学科发展的动态和趋势，他先后选择了一些重要的具有不同结构和特征的问题和算法作为研究课题，涉及非线性规划、不可微优化、变分不等式与互补问题、双层规划、半定规划和组合优化等方面。这一时期他的研究工作有了长足的进展，他与研究生及其他人合作取得以下几方面的成果：
1. 对非线性优化的共轭梯度方法、拟牛顿方法和信赖域方法的收敛性质的深入研究。这几类方法都是求解中等规模及大规模优化问题的重要方法。文献*轭梯度法的全局收敛性的证明需要有“充分下降性”这一比较强的条件，韩继业教授与合作者去掉此条件并也减弱某些其他条件下证明了几种共轭梯度法的全局收敛性，这减少了算法的计算步骤并扩大了算法的应用范围。无约束优化的著名的DFP、BFGS 和Broyden 族等拟牛顿方法在非精确线性搜索下对于非凸函数的全局收敛性从上世纪六十年代至今仍是open 问题。他与合作者证明了对于一些函数类在比较广泛的非精确线性搜索下有全局收敛性，对此问题取得了实质性的进展。对于带一般非线性约束的优化问题，求解算法的全局收敛性大都需假使约束函数在解点的梯度满足独立性，他与合作者设计出非单调信赖域方法，并证明了新算法在不要求此条件下具有全局收敛性和局部超线性收敛性，这扩大了算法的应用范围，也是对优化算法理论的有意义的探讨。
2．对抽象迭代算法模型的收敛条件的研究。优化问题和方程组的迭代求解方法可利用一列集值映射来表述，这种抽象算法模型的引进使得可利用集值分析的概念和结果来统一地研究迭代算法的收敛性。文献中W. I. Zangwill, E. Polak, P.Huard, R. R. Meyer, J. Denel,等人对抽象算法的收敛条件先后做出了一些重要的结果。韩继业教授与合作者给出了更广泛的非闭的收敛条件，改进了许多已有的结果，并用以研究投影算法的收敛性。
3. 排序和网络等组合优化问题的近似算法的研究。韩继业教授与合作者对于有约束的单机和多机排序问题以及网络的极大割问题等一些NP-hard 问题提出了多项式时间的近似算法，证明了它们比文献中已有的近似算法有更好的“最坏情况下性能比”。
4. 变分不等式的解的存在性和解集的有界性的研究。变分不等式是近四十余年内出现的一类新的数学问题，它与非线性优化、变分学、不动点问题、和均衡问题等有密切联系。韩继业教授与合作者定义了变分不等式的“例外族”的概念，基于此概念并利用拓扑度理论得到了连续映射的变分不等式有解和解集非空有界的两个条件，并证明了新条件对于伪单调连续映射的变分不等式分别是有解和解集非空有界的充要条件，新条件也改进了文献中某些结果。
5. 互补问题和变分不等式的求解方法的研究。这是国际上近十多年来应用数学的一研究热点。韩继业教授与合作者较早开展了对互补问题和变分不等式的求解算法的系统研究，设计出了关于非线性变分不等式的牛顿型和拟牛顿型方法和关于互补问题的内点法、非内点连续化方法等，它们的迭代过程主要是解一列线性方程组，在某些条件下它们具有全局收敛性和局部平方收敛速度。
“老骥伏枥，志在千里，烈士暮年，壮心不已”。目前，韩继业教授虽然从中国科学院应用数学所的工作岗位上退了下来，但他退而不休，仍然以饱满的热情关注着本领域学术研究的前沿，像年轻人一般活跃在科研工作第一线。韩继业教授不但仍为清华讲授优化课程，还继续与他早已毕业的研究生们及国内外同行保持着密切的学术合作与交流。同时，作为《应用数学学报》与《数学学报》的编委，韩继业教授以他一贯的谨慎与严谨为提高刊物质量默默耕耘。作为优化领域的知名学者，他还常常被邀请作为博士生毕业答辩委员会*或成员，关注着优化领域里新人的培养与成长。韩继业教授目光明敏，思维活跃，年近古稀仍处在学术研究的“青春期”。