关于复数的三角形式和复数方程的问题

发布网友发布时间：2022-04-19 16:15

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热心网友时间：2023-07-01 12:06

复数中有著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+i*sinθ
因此
[cos5/3π＋(sin5/3π）i]＾5
=[e^(i*5/3π)]^5
=e^(i*5/3π*5)
=cos(5/3π*5)
+
i*sin(5/3π*5)
另外，欧拉公式的证明比较麻烦，需要用到高等数学的无穷级数展开，
简要证明如下：
设z
=
x+iy
这样
e^z
=
e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x
=
e^(iy)
用牛顿幂级数展开式
e^x
=
1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......
把
e^(iy)
展开，就得到
e^z/e^x
=
e^(iy)
=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....
=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)
+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
由于
cosy
=
1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
siny
=
y-y^3/3!+y^5/5!-....
所以
e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)
即
e^(iy)
=
(cosy+isiny)
这就是著名的“欧拉公式”

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关于复数的三角形式和复数方程的问题