因式分解中的待定系数法怎么使用

发布网友 发布时间：2022-04-19 15:45

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热心网友 时间：2023-09-01 19:21

多项式中的二次项2x^2+5xy-3y^2，可以分解成（2x-y）（x+3y）
。因此，如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积，那么这两个因式是（2x－y＋m）（x+3y＋n）的形式，其中m、n为待定系数。展开得
（2x-y）（x+3y）+m(x+3y)+n(2x-y)+mn
合并一下得
（2x-y）（x+3y）+(m+2n)x+(3m-n)y+mn
和原式对比系数得
m+2n=-3
3m-n=5
mn=-2
解方程得到m=1,n=-2
所以2x^2+5xy-3y^2-3x+5y-2
=
（2x-y+1）（x+3y-2）
第2个问题
2x^2+5xy-3y^2=(x+3y)(2x-y)是用十字相乘法得到的，如下
2
-1
1
3
左列为x项的系数，右列为y项系数，十字相乘之和为xy项系数
俺是因式分解高手，可以继续咨询我
补充问题，可以反过来想，（2x－y＋m）（x+3y＋n）展开后，关于m、n的项全是x、y的一次项或者零次项，比如题中展开后包含m、n的项为m(x+3y)+n(2x-y)+mn。所以可以这么假设，考试这么做肯定不会被打错的。

热心网友 时间：2023-09-01 19:21

1.设n次多项式的分解结果为：K(x-A1)(x-A2)……(x-An)
或
（A1x+B1y+C1)（A2x+B2y+C2)……（Anx+Bny+Cn)；
2.把右边展开成多项式；
3.利用对应项系数相等，列成方程组；
4.解方程组，求得k、A1、
A2、……、
An；
5.代入右边求得分解式。
例如：
（1）x^3-7x+6分解因式
解：设x^3-7x+6=(x-A)(x-B)(x-C)=x^3-(A+B+C)x^2+(AB+BC+CA)x-ABC
A+B+C=0
AB+BC+CA=-7
ABC=-6
解得A=1
B=2
C=-3
∴x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)
实际上，这只有理论上的意义，因为解方程组往往也是难事，所以待定的系数越少越好。
（2）x^2+2xy-63y^2-x-41y-6
解：设x^2+2xy-63y^2-x-41y-6=(x+Ay+B)(x+Cy+D)
=x^2+(A+C)xy+ACy^2+(B+D)x+(AD+BC)y+BD
A+C=2
AC=-63
B+D=-1
AD+BC=-41
BD=-6
解得A=-7
B=-3
C=9
D=2
∴x^2+2xy-63y^2-x-41y-6=(x-7y-3)(x+9y+2)
同样，这只有理论上的意义，因为解方程组往往也是难事，所以待定的系数越少越好。