已知函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b,其中a,b属于R (1)当a=-10/3时,讨论

发布网友 发布时间：2024-10-26 22:25

我来回答

共2个回答

热心网友 时间：2024-10-26 22:30

（1）当a=-10/3时，
f(x)=x^4-10/3x^3+2x^2+b
求导，得
f'(x)=4x^3-10x^2+4x=0
x1=0 x2=1/2 x3=2
所以当x<0时，f'(x)<0 f(x)单调递减
1/2>x>0 f'(x)>0,f(x)单调递增
2>x>1/2 f'(x)<0 f(x)单调递减
x>2 f'(x)>0,f(x)单调递增
3个x值 可以归于相邻任意区间的2端
(2)函数仅在x=0处有极值
则f'(x)=4x^3+3ax^2+4x
x=0时
f'(0)=0
即4*0^3+3a*0^2+4*0=0
a取全体实数
但是4x^2+3ax+4不等于0
即delta<0
(3a)^2-4*4*4<0
所以-8/3<a<8/3

热心网友 时间：2024-10-26 22:31

（1）f’（x）=4x³+3ax²+4x当x=-10/3f’（x）=4x³-10x²+4x令f’（x）≥0函数递增用穿针引线法解得0≤x≤1/2或x≥2所以增区间为[0,1/2]和[2,+∞）同理减区间为（-∞，0）和（1/2，2）（2）函数f(x)仅在x=0处有极值说明f’（x）=0只有一个解切为0f’（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）要满足只有一个解切为0只需4x²+3ax+4=0无解9a²-4*4*4＜0解得-8/3<a<8/3 (3)函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R.若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围。回答：y'=4x^3+3ax^2+4x=x(4x^2+3ax+4)Δ＝9a^2-64<0y"=12x^2+6ax+4Δ＝36(a^2-16/3)<0显然函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R,在（－∞，＋∞）上只有一个最值，在整个区间上是凹向上的依据题意有max f(x)=max{f(-1),f(1)}=max{3+b+a,3+b-a}=5+b又因为对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立所以b≤-4