...且Sn=n2+2n.数列{bn}中,b1=1,bn=abn?1(n≥2).(1)求数列{an}的通项...
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发布时间：2024-10-24 17:46
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时间：2024-11-01 04:17
（1）n=1时，a1=S1=3，n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-（n-1）2-2（n-1）=2n+1，
且n=1时也适合此式，故数列{an}的通项公式是an=2n+1；
（2）依题意，n≥2时，bn＝abn?1＝2bn?1+1，
∴bn+1=2（bn-1+1），又b1+1=2，
∴{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即存在常数t=2使数列{bn+t}是等比数列bn+1=2?2n-1=2n，即bn=2n-1．
（3）①bn+1-2bn=（2n+1-1）-2（2n-1）=1＞0所以bn+1＞2bn对一切自然数n都成立．
②由bn+1＞2bn得1bn+1＜12bn，设S＝1b1+1b2+1b3++1bn，
则S＜1b1+12b1+12b2+…+12bn?1=1b1+12(S?12bn)，所以S＜2b1?1bn＝2?1bn．
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