求证当a1=1,an=1\a(n-1)+1,证明{an}收敛

发布网友发布时间：2024-10-24 17:29

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热心网友时间：1天前

证明：显然可以发现an是有理数序列，设an=(F(n+1))/Fn
=>F(n+1)=Fn+F(n-1)
F(1)=F(2)=1
故Fn为斐波拉契数列
而斐波拉契数列lim(F(n+1))/Fn=(sqrt(5)+1)/2
(或者自己推导即可）
F(n)=1/sqrt(5)(a^n-b^n) (a=(sqrt(5)+1)/2,b=(-sqtr(5)+1)/2)
故an通项为(a^n-b^n)/(a^(n-1)-b^(n-1))
|a|>1>|b|
故an极限为a

初等做法
为了书写方便
(a=(sqrt(5)+1)/2,b=(-sqtr(5)+1)/2)
a(n+1)-a=(-b)/an(an-a)
=>(a(n+1)-a/(an-a)=(-b)/an;
=>a(n+1)-a=(-b)^n/(a1a2a3...an)*(a2-a)
=>|a(n+1)-a|=(-b)^n*|a2-a|/(a1a2a3...an)
显然ai>1=>|a(n+1)-a|<|a2-a|*(-b)^n
|-b|<1
故当n趋向于无穷大时|a2-a|*(-b)^n趋向于0
故an的极限为a
证毕！追问有没有更初级的方法，我才大一

追答大一已经学过了啊，上面下面的初等方法挺简单的了啊，因为这道题的背景就是斐波拉契数列，所以an不是单调递增也不单调递减，是奇数项和偶数项的增减性不一样，所以做起来会麻烦一些，利用判别准则也很难求。
希望能够帮到你

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