MIT—微分方程笔记25 常系数齐次线性方程组

发布网友 发布时间：2024-10-24 13:22

我来回答

共1个回答

热心网友 时间：2024-11-13 15:46

Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients

学习求解常系数齐次线性方程组的方法。在上一节讨论了冰水中冷却鸡蛋模型中的蛋黄与蛋白温度随时间变化的方程组，应用牛顿传导定律。今天，将探索矩阵法求解这类方程组。

微分方程的矩阵形式表示为[公式]，其解表示为[公式]。传统消元法将方程组化为二阶微分方程，最终得到[公式]，但该方法通常在其他方法被遗忘时使用。

采用矩阵法，方程写作[公式]，解为[公式]。尝试解[公式]设定为[公式]不能适用，一组解应具有相同的指数λ，即[公式]。代入方程得到[公式]，通过消去[公式]，解得一个代数方程[公式]。

将[公式]视为未知数，而将[公式]视为参数，得到方程组[公式]。这是一个齐次线性方程组。"方形"齐次线性方程组必有平凡解0，即蛋黄和蛋白的温度均为0，表示平衡状态，对求解无实质意义。只有当方程组系数行列式为0时，方程才有非平凡解。得到一个[公式]必须满足条件，即特征方程[公式]。展开行列式得到[公式]，此为消元法得到的二阶微分方程的特征方程。解得[公式]。

代入[公式]，方程组变为[公式]。两个方程实际上是一个方程，系数存在差异，这反映了求解过程中寻找合适的[公式]以呈现这种冗余状态的逻辑。指定变量之一为特定值，通常令[公式]，则有[公式]。因此微分方程解为[公式]。

代入[公式]，方程组变为[公式]。得到[公式]，[公式]。解为[公式]。根据叠加原理，通解为[公式]。

矩阵法与消元法在运算中得到相同的特征方程。

矩阵法总结：微分方程[公式]，尝试解[公式]，代入方程并消去[公式]，得到代数方程[公式]，整理为[公式]。仅当系数矩阵行列式为0时，方程有非平凡解（非0解），即[公式]。这一方程的常数项为系数矩阵[公式]行列式的值det(A)，一次项系数为矩阵的迹tr(A)（对角线元素和）取负值。此方程为矩阵的特征方程，其根[公式]为矩阵的特征值。对于每个特征值[公式]，通过解方程[公式]找出其对应向量[公式]，此向量称为矩阵特征值[公式]的特征向量。

通过叠加原理得到通解形式为[公式]。

方程求解过程的矩阵向量格式写为[公式]，其中[公式]，[公式]（缩写为向量和矩阵格式，适用于n阶）。尝试解为[公式]，代入方程得到[公式]，通过消去[公式]得到[公式]，即[公式]（注意加入单位阵I，构造成nxn的矩阵）。得到特征方程[公式]，求出方程的根，即特征值，进而求出该特征值对应的特征向量。