求解一道关于棣莫佛定理的证明题

发布网友 发布时间：2022-04-19 10:54

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热心网友 时间：2023-07-01 13:49

(一下都可以在百度、找到的）把复数用三角式（具体参见复数）表示：
　　c=r(cosa+isina)
　　证明：
　　或者表示为：
　　r(cos+isina) 的n次方根＝n次根号下{r×[cos((a+2k)/n)+isin((a+2kπ)/n)]}　其中k=0,1,2...n-1
　　先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
　　1.将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
　　e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
　　sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
　　cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
　　将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式
　　应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
　　=e^inx
　　=cos(nx)+isin(nx)
　　证毕
　　补充说明，棣莫佛定理对于实数同样成立，只是高中教材没写
　　你读高中吗？如果在读高中，可能不懂泰勒级数，这是微积分的知识，等我有空再把初等数学的证法写出来
　　有
　　（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y)
　　令x=y=n
　　可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n)
　　令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
可以推广。另外容易看出： √i = (√2)/2 + i(√2)/2 = - (√2)/2 - i(√2)/2 补充一下： 1） i＾2＝-1，（i＾4）＾2 ＝1没有任何矛盾之处。 i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 ——本来就是这样。 2）复数系在加减乘除乘方开方运算下都是封闭的， √i = (√2)/2 + i(√2)/2 = - (√2)/2 - i(√2)/2 仍然属于复数系。关于这一点伟大的莱布尼兹一辈子都搞错了（他以为√i在复数系中不能开方，并由此断定x^4 + x^2 + 1不可分解），某些老师搞错也是情有可原的。 另外Zereta不要吓唬小朋友，扩域的知识虽然在复变函数或抽象代数中讲，但√i的化简本身我认为只是个运算技巧问题，只要平方验证一下就知道对不对了。 先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx

1.将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……

将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式

应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
证毕
补充说明，棣莫佛定理对于实数同样成立，只是高中教材没写
你读高中吗？如果在读高中，可能不懂泰勒级数，这是微积分的知识，等我有空再把初等数学的证法写出来

有
（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y)
令x=y=n
可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n)
令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
接下来你知道怎么办了吧？