复数方程z^6=1怎么解，求过程（有4个复数解）

发布网友 发布时间：2022-04-19 10:54

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热心网友 时间：2023-07-08 02:25

我们可以使用欧拉公式来快速求解这个复数方程。欧拉公式表示为：
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是任意实数。
对于这个方程Z⁶+1=0，我们可以将它写成：
Z⁶ = -1
然后，我们可以将Z表示为：
Z = r e^(iθ)
其中，r是Z的模长，θ是Z的幅角。
将Z的表示式代入原方程中，得到：
r^6 e^(i6θ) = -1
因为e^(i6θ)是一个复数，它的模长是1，所以我们可以将它表示为：
e^(i6θ) = cos(6θ) + i sin(6θ)
将这个式子代入原方程中，得到：
r^6 (cos(6θ) + i sin(6θ)) = -1
即：
r^6 cos(6θ) + i r^6 sin(6θ) = -1
因为这两个复数相等，所以它们的实部和虚部都相等，即：
r^6 cos(6θ) = -1
r^6 sin(6θ) = 0
从第二个式子可以得到，sin(6θ) = 0，因此：
6θ = kπ
其中，k是任意整数。因为我们要求的是6个根，所以k的取值范围是0到5。
将第一个式子代入原方程中，得到：
r^6 (cos(6θ) + i sin(6θ)) = r^6 e^(i6θ) = -1
即：
r^6 e^(i6θ) = -1
因为e^(i6θ) = e^(ikπ)，所以：
r^6 e^(ikπ) = -1
因此，我们可以得到6个根：
Z1 = e^(iπ/6) = cos(π/6) + i sin(π/6) = (sqrt(3)/2 + i/2)
Z2 = e^(iπ/2) = cos(π/2) + i sin(π/2) = i
Z3 = e^(5iπ/6) = cos(5π/6) + i sin(5π/6) = (-sqrt(3)/2 + i/2)
Z4 = e^(7iπ/6) = cos(7π/6) + i sin(7π/6) = (-sqrt(3)/2 - i/2)
Z5 = e^(3iπ/2) = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = -i
Z6 = e^(11iπ/6) = cos(11π/6) + i sin(11π/6) = (sqrt(3)/2 - i/2)
因此，Z的6个根分别是sqrt(3)/2 + i/2，i，-sqrt(3)/2 + i/2，-sqrt(3)/2 - i/2，-i，sqrt(3)/2 - i/2。

热心网友 时间：2023-07-08 02:25

😳问题 : 复数方程z^6+1=0

👉复数

复数，是数的概念扩展。我们把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

👉导数的例子

『例子一』 z=3+4i

『例子二』 z2=i                    ; 纯复数

『例子三』 z=3                     ；虚数部=0， 实数

👉回答

z^6+1=0

整理方程

z^6=-1

把-1 变成 cos(2kπ+π)+isin(2kπ+π)

z^6=cos(2kπ+π)+isin(2kπ+π)

两边开6次方

z=cos[(2kπ+π)/6]+isin[(2kπ+π)/6]

k=0,1,2,3,4,5

得出结果

z^6+1=0  解出

z=cos[(2kπ+π)/6]+isin[(2kπ+π)/6]                  ； k=0,1,2,3,4,5

😄:   复数方程z^6+1=0 ； 

 解出

z=cos[(2kπ+π)/6]+isin[(2kπ+π)/6]                  ； k=0,1,2,3,4,5