高等代数r(AB)>=r(A)+r(B)-n的一种证明

发布网友 发布时间：2022-04-19 09:56

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热心网友 时间：2023-08-24 18:19

设A是m×n矩阵, B是n×k矩阵, 求证r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n

设r(A) = s，D为A的相抵标准形

可知存在m阶可逆阵P与n阶可逆阵Q使PAQ = D

有r(AB) = r(PAB) = r(DQ^(-1)B)

Q^(-1)B是n×k矩阵, 易见r(Q^(-1)B) ≤ r(Q^(-1)B的前s行)+r(Q^(-1)B的后n-s行)

= r(DQ^(-1)B)+r(Q^(-1)B的后n-s行)

≤ r(DQ^(-1)B)+(n-s)

= r(DQ^(-1)B)+n-r(A)

故r(AB) = r(DQ^(-1)B) ≥ r(Q^(-1)B)+r(A)-n = r(B)+r(A)-n

扩展资料：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

热心网友 时间：2023-08-24 18:19

热心网友 时间：2023-08-24 18:20