急求！！！谁能帮我找一下有关于勾股定理嘚验证方法 图文并茂 详细一些

发布网友 发布时间：2022-04-19 09:58

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热心网友 时间：2023-10-24 00:46

Inongtupian 勾股定理的证明方法
山东 马永庆
1.（传说中毕达哥拉斯的证明）

图1 图2

如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .

2.（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. 四边形ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .

3.（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .

∴ .

∴ .

图3 图4

4.（Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 则 ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 . ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ ∴ .

5.（马永庆证明方法1）
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和，所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.

图5 图6

6.（马永庆证明方法2）
对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到)。一方面，四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和，所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即： .
整理：

∴a2+b2=c2.

刻卜勒 (Kepler)曾说：“毕氏定理与黄金分割，是几何学的两大宝藏。”
在台湾的毕氏定理知识网上，详细地介绍了有关于毕氏定理（即勾股定理）的几种证明方法：

7.面积分割法

把原来的两个小正方形，切几刀剪再重新组合成另一个大正方形，疑？这不就是毕氏定理的证明？不需藉助任何文字与符号，让我们来比比看，看谁切的又少块又漂亮？

5块 5块 5块 5块

6块 7块 7块 8块

8块 9块

8.乾坤大挪移

拿把剪刀，切割两个小正方形，也可以巧妙地组成另一个大正方形！
毕氏定理透过旋转或平移的方式，不需代数的计算，证明一目了然，可谓漂亮的无言证明！

9.勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。它有四百多种证明！卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。

关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》（公元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，有兴趣的读者不妨查阅一下。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化简后便可得： a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。

10. 印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形。但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图中给出的两个相似三角形，我们有
c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a 2 +b2=c(m+n)=c2

勾股的证明

中国的数学家刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。刘徽对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。

勾股趣事
汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的、

各具特色的证明方法
Inongtupian 勾股定理的证明方法
山东 马永庆
1.（传说中毕达哥拉斯的证明）

图1 图2

如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .

2.（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. 四边形ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .

3.（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .

∴ .

∴ .

图3 图4

4.（Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 则 ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 . ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ ∴ .

5.（马永庆证明方法1）
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和，所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.

图5 图6

6.（马永庆证明方法2）
对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到)。一方面，四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和，所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即： .
整理：

∴a2+b2=c2.

刻卜勒 (Kepler)曾说：“毕氏定理与黄金分割，是几何学的两大宝藏。”
在台湾的毕氏定理知识网上，详细地介绍了有关于毕氏定理（即勾股定理）的几种证明方法：

7.面积分割法

把原来的两个小正方形，切几刀剪再重新组合成另一个大正方形，疑？这不就是毕氏定理的证明？不需藉助任何文字与符号，让我们来比比看，看谁切的又少块又漂亮？

5块 5块 5块 5块

6块 7块 7块 8块

8块 9块

热心网友 时间：2023-10-24 00:47

http://www.huangrong.org/gougu/page22.html
图片有些小，你先另存为，再放大
内容很不错

热心网友 时间：2023-10-24 00:47

打开这个网页看看吧~~！

参考资料：http://www.it.com.cn/f/e/0410/12/jhhb89.jpg