关于二阶导数

发布网友发布时间：2022-04-20 04:18

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热心网友时间：2023-08-04 06:13

简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。

1、连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。

2、而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。

3、结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

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1、导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

2、导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

3、导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性*近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

热心网友时间：2023-08-04 06:14

如果说2阶导数的话。。我知道可以判断函数的凹凸性

热心网友时间：2023-08-04 06:15

2楼的回答有误。
d^2 y = d(dy) 表示dy的微分，也就是二阶微分。
dx^2 = (dx)^2 确实是表示微分形式dx的平方，也是一个二阶量。

d(dy) = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x) d(dx) = f''(x)(dx)^2 + f'(x) d(dx)
由于dx可以看作是x的增量，和x本身无关，所以d(dx)=0，这样就得到了
d^2 y = f''(x) dx^2，
也可以把二阶导数f''(x)看作d^2 y和dx^2的商。

不过要注意，二阶微分没有形式不变性，不能直接用于中间变量。

热心网友时间：2023-08-04 06:15

d²y/dx² ，
这是二阶导数的一种表达式，不可以拆成分子和分母来分别解释。

二阶导数其它一些常见的表达式有：
y"、(d/dx)(dy/dx)、dy'/dx、d(dy/dx)/dx ；
其中以 y"、d²y/dx²为最常用，都属于约定俗成的表达式。

若将分子和分母拆开分别解释，则变成其它的含义。
（1）
d²y=d[d(y)] 是对的，
该表达式中的 ² 是指：运算 d 的运算次数；
d²y的意义是：y的二阶无穷小。
（2）
dx²=[d(x)]² 是错的，应该是 dx²=d(x²)；
该表达式中的 ² 是指：字母 x 的乘方次数；
dx²的意义是：x² 的一阶无穷小。

总结：
以上的表达式都是约定俗成的表达式（所以没有为什么），
就是定义某一种符号来表示某种运算法则。
比如：x² ，
大家一看就知道，是指对 x 进行平方运算，而无需多做解释。
这就是数学的魅力，
约定好符号的表达意义，就可以使表达式简洁明了。

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