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如何讲解导数的定义?

发布网友 发布时间:2022-04-20 01:52

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热心网友 时间:2023-06-23 08:34

导数的概念与几何意义

1. 导数的概念

设函数 在 及其近旁有定义,用 表示 的改变量,于是对应的函数值改变量为 ,如果极限 存在极限,则称函数 在点 处可导,此极限值叫函数 在点 处的导数,记作 或
称为函数 在 到 之间的平均变化率,函数 在点 处的导数即平均变化率当 时的极限值。

2. 导数的几何意义

函数 在一点 的导数等于函数图形上对应点 的切线斜率,即 ,其中 是过 的切线的倾斜角,过点 的切线方程为

3. 导数的物理意义

函数 在 的导数是函数在该点处平均变化率的极限,即瞬时变化率,若函数 表示运动路程,则 表示在 时刻的瞬时速度。

4. 导函数的概念

如果函数 在开区间 内每一点都可导,就说 在 内可导,这时,对于开区间 内每个确定的值 都对应一个确定的导数 ,这就在 内构成一个新的函数,此函数就称为 在 内的导函数,记作 或 ,即
而当 取定某一数值 时的导数是上述导函数的一个函数值。

导数与导函数概念不同,导数是在一点处的导数 ,导函数是某一区间 内的导数,对

导函数是以 内任一点 为自变量,以 处的导数值为函数值的函数关系,导函数反映的是一般规律,而 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。
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